現代数学入門B

なし

主題:本講義では, 線形代数学第二の続きとして, 群, 環, 体いう代数学の基本的概念の重要性を学ぶ.

達成目標:まずは剰余群をきちんと理解することが目標である. 剰余群は大学以上の数学において基本的な例を与えるので, この理解が数学的世界を拡げる上でも重要である. その後, 時間の許す限り, 線形代数学第二に現れた各種概念を一般化して, 代数学での枠組みでとらえなおすことで, 本格的に群, 環, 体などの一般論をさらに勉強することの動機づけにつなげたい.

線形代数学第一, 線形代数学第二

数学演習第一, 数学演習第二, 微分積分学第一, 微分積分学第二

教科書なし.
参考書なし.

(a)授業内容
第1回: 直積集合, 対応とそのグラフ, 写像, 2項演算, 積, 結合法則, 半群, 単位元, モノイド
第2回: 単位元の一意性, 集合XからXへの写像全体の集合はモノイド, 逆元, 逆元の一意性, 単元(可逆元), 単元群, 群, n次対称群, 線形代数の復習(全射, 単射, 全単射)
第3回:一般線形群, 交換法則, 可換群, アーベル群, 加(法)群, 和, 零元, 乗法群, ベクトル空間は加法群, 群の準同型写像, 群の準同型写像の例(指数関数, 対数関数, 行列式, 線形写像), 準同型写像の性質
第4回:準同型写像の像と核, 部分群, 巡回群, 群の元の位数, 群の位数, 逆像
第5回:正規部分群, 準同型写像の核は正規部分群, 特殊線形群, 置換の記法, 巡回置換, 置換に関する公式, 正規部分群でない群の例
第6回:群の準同型写像が単射であるための条件, 群の同型写像, 同型写像の逆写像は同型写像,
nを法とした合同関係, 関係, 同値関係, 同値類, 代表元, 部分群を法とした左(右)合同関係, 正規部分群を法とした合同関係
第7回:べき集合, 商集合, 左(右)剰余類, 左(右)剰余類分解, 部分群の指数
第8回:部分群の位数に関するLagrangeの定理, nを法とした合同関係と加法, 正規部分群を法とした合同関係と乗法, 剰余(類)群, 代表元の取り方によらずに積が定まる, 積がWell-defined
第9回:群の準同型定理, 環の定義, 分配法則, 有理整数環
第10回:可換環, 零環, (可換)体, 有理数体, 実数体, 複素数体, n変数多項式環, 環の準同型写像, 代入写像, 環の準同型写像の像と核, 部分環と両側イデアル.
第11回:nを法とした合同関係と乗法, 両側イデアルを法とした合同関係と乗法, 代表元の取り方によらずに積が定まる, 積がWell-defined, 剰余環, 環の同型, 環の準同型定理
第12回:加法群は自己準同型環上の左加群, 環上の(左)加群, 体上のベクトル空間, 環上の(左)加群であることの環の準同型を使った言いかえ
第13回:1つの線形写像に注目したベクトル空間は1変数多項式環上の加群とみなせる. ケーリー・ハミルトンの定理
第14回:単項イデアル, 単項イデアル環, 1変数多項式環は単項イデアル環, 線形写像の最小多項式
第15回:定期試験とその解説

(b) 授業の進め方
板書による講義.

一所懸命にノートを取り, そのノートをよく復習してください. そのうえで, わからないところがあれば質問することが大事です. 定着をはかるためには, 折に触れ, 内容を反芻すると良いでしょう.

(a) 評価方法
期末試験とレポートの提出状況と出来で評価する.

(b) 評価基準
簡単な代数系の証明がかける, 群, 環, 体などの基本的代数系を識別できる, 各種概念の定義を書いたり対象を識別できる, 写像がWell-definedであることの証明が書ける, 準同型定理が理解できている, ことなどを合格の基準とする.

随時受け付ける.

群の準同型定理をきっちりマスターしておくと, 今後の基礎になり有用かと思います.

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