微分積分学第一(クラス10)

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[主題]1変数関数の微分積分学の基礎を学ぶ.
[到達目標]1変数関数の微分積分の基本的事項(微分・積分の概念, 計算法則, 応用法)を理解し, それを用いた具体的な計算に習熟することを目標とする.
<<授業の概要>>
微分積分学は, 自然科学を語る「言葉」であり, 現代の科学技術の基礎を支える屋台骨である. 高校の数学IIでは多項式の微分積分法を学び, 数学IIIでは一般的な計算法則に触れた上で, 分数関数, 無理関数, 三角関数, 指数・対数関数の微積分法を学習した. 「微分積分学第一」では数学IIIで十分に扱えなかった微積分法の一般的な計算法則を深めるとともに, 微分では「逆三角関数」「ロピタルの定理」「ライプニッツの公式」「テーラーの定理」などの新しい内容が加わり, 積分では定積分の定義を区分求積法の考え方で捉え直し, またより多くの関数の積分が実行できように計算技術の深化が図られる.

(なお, 高校で学んだ範囲の微積分に自信のない人は, 別に「数学補習授業」が開講されているので, 積極的に受講してほしい. )

(高校の微分積分)

(高校の数学)

教科書:三宅 敏恒 著『入門 微分積分』(培風館)
参考書:新井 仁之 著『これからの微分積分』(日本評論社) 1変数実関数の微分積分法を動機づけとともに要点を明瞭に解説.
野村 隆昭 著『微分積分学講義』(共立出版) よく練られた例や例題が多く, 他書には余りない微妙な注意点が特色である.
吹田 信之・新保 経彦 共著『理工系の微分積分学』(学術図書出版社) 文字通り理工系大学で多く採用されている定評のある教科書. 簡潔だが, 各要点がよくまとまっている.
宮島 静雄 著『微分積分学I』(共立出版) 1変数実関数の本格的教科書
小平 邦彦 著『解析入門I』(岩波書店) 碩学による解析概論の現代版
杉浦 光夫 著『解析入門I』(東京大学出版会) 初等解析学の網羅的事典
藤原 松三郎 著『微分積分学第1巻』(内田老鶴圃) 意欲的な学習者向けに発展的な内容まで詳細に解説している. 邦書で最も程度が高い.
磯崎・筧・木下・籠屋・砂川・竹山 共著『微積分学入門 例題を通して学ぶ解析学』(培風館) 数学の答案の書き方がよくわからない学生に推奨する.
野本 久夫・岸 正倫 共著『解析演習』(サイエンス社) 標準的な問題演習書
三宅 敏恒 著『微分積分の演習』(培風館) 指定教科書に準拠した演習書
佐々木 浩宣 著『ヘンテコ関数雑記帳』(共立出版) 想像を絶する関数が知りたい方に.
Terence Tao, Analysis I, 2nd ed., Texts & Readings in Math., Vol. 37, Hindustan Book Agency, 2009.
Rami Shakarchi, Problems and Solutions for Undergraduate Analysis, Springer, 1998.
Robert S. Strichartz, The Way of Analysis, Jones & Bartlett Math., 1995.
A. R. Rajwade-A. K. Bhandari, Surprises and Counterexamples in Real Function Theory, Texts & Readings in Math., Vol. 42, Hindustan Book Agency, 2007.

(a) 授業内容

第1回:内容紹介, 実数
第2回:連続関数
第3回:初等関数, 特に逆三角関数
第4回:関数の微分, 合成関数・逆関数の微分公式
第5回:平均値の定理, 関数の増減, ロピタルの定理
第6回:高次の導関数, 曲線の凹凸, ライプニッツの公式
第7回:テーラーの定理, 漸近展開
第8回:微分のまとめ, 補足
第9回:中間試験とその解説
第10回:定積分と不定積分
第11回:置換積分と部分積分
第12回:いろいろな積分の計算法
第13回:広義積分
第14回:区分求積法, 定積分の応用
第15回:積分のまとめ, 補足

[注]講義の進度は多少前後することがある.

(b) 授業の進め方

授業は基本的に板書によって進められる.

授業時間外の学習なしに, 講義中に講義内容のすべてを理解することは不可能であることを認識してほしい. 授業時間外に, 講義の復習をすると同時に, 教科書の演習問題等を実際に解いてみる作業が求められる.

(a) 評価方法

定期試験を中心に, 必要に応じてレポート・小テストなどを課し, それらの出来を総合的に評価する.

(b) 評価基準

高校の数学II, 数学IIIの発展として, 逆三角関数, 不定形の極限, 高次導関数, 有限テーラー展開とその応用, 部分積分法, 置換積分法, 広義積分の収束・発散, 定積分の定義について, 基本的な概念および計算法則を理解し, 具体的な関数に対して適用できることを基準とする.

東1号館, 501号室, 水曜, 6時限を原則とします. 但し, この時間に都合がつかない場合には, 数日前に電子メールで来室予約をとった上で居室を訪問されたい. 電子メールでの質問は固くお断りします. 当該授業の内容以外の質問や相談には応じませんので悪しからず.

高等学校における微分・積分法の発展的な内容を学習します. つまり, 高等学校での学習内容を前提にして講義が行われます. それらが不確かだと思う学生は是非積極的に「数学補習授業」に参加して下さい. 補習の先生が丁寧に教えてくれるはずです. ここでつまずくと, 後学期の講義「微分積分学第二」, 「解析学」の学習にも支障をきたします.
この講義は1変数関数の微分・積分の計算法を習得するのが主な目的ですが, 大学では理論的な側面も少なくありません. その箇所は初学者には難しく感じると思われますが, 教科書の例題や節末問題, 演習書の問題などを自分で考え, 解いて行く過程で次第にわかってくるものですから, 最初は余り気にせずにやってみて下さい. 毎回, 必ず復習することが大切です.
まず, 問題を自力で解いてみましょう. それで, もしも解けなかったのなら, 何処かに原因があるはずです. 例えば, 解くのに必要な知識(計算法, 定理の運用法等)の不足です. 時間的な制限から授業で教えられるのは最低限の内容だけです. それ以外の問題演習等は学生諸君の自主性に委ねられていることも多いのが実情です. そのために附属図書館等に学習に必要な書籍があります. これらの書物を積極的に活用して理解するよう心掛けて下さい. また, 指定の教科書だけではよく理解できないことも多々あるでしょう. その際に参照すべき書物が不明な(向学心の高い)学生のために, 数学教員の立場でやや水準の高いものから最高水準のものまでを参考書として(必要以上に)多く挙げています. それでも, どうしてもわからなければ, 先生や頼りになる先輩に質問すればよいでしょう. こういう地道な努力を期待します.

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