微分積分学第二(クラス11)

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[主題]多変数関数の微分積分学の基礎を学ぶ.
[到達目標]多変数関数(主に2変数, 3変数)の微分積分の基本的事項(偏微分・重積分・線積分の概念, 計算法則, 応用法)を理解し, それを用いた具体的な計算に習熟することを目標とする.
<<授業の概要>>
微分積分学は, 自然科学を語る「言葉」であり, 現代の科学技術の基礎を支える屋台骨である. 「微分積分学第二」では, 高校の数学II, 数学III, そして「微分積分学第一」の順に深められた1変数関数の微分積分学を多変数関数の「偏微分」「重積分」の概念へと拡張し, それらに関する基本的事項(定義, 計算法則, 応用)を学習する. 主として2変数の場合を扱うが, 適宜, 一般変数(特に3変数)の場合も扱う. また重積分に関連して「線積分」についても学ぶ.

微分積分学第一

数学演習第一, 線形代数学第一

教科書:三宅 敏恒 著『入門 微分積分』(培風館)
参考書:小平 邦彦 著『解析入門II』(岩波書店) 碩学による解析概論の現代版
宮島 静雄 著『微分積分学II』(共立出版) 多変数実関数の本格的教科書
杉浦 光夫 著『解析入門I, II』(東京大学出版会) 初等解析学の網羅的事典
藤原 松三郎 著『微分積分学第1巻』(内田老鶴圃) 意欲的な学習者向けに発展的な内容まで詳細に解説
高木 貞治 著『解析概論』(岩波書店) 初等解析学の古典的名著
澤野 嘉宏 著『早わかりベクトル解析 3つの定理が織りなす華麗な世界』(共立出版) ベクトル解析(第12回)の良書. 最終章でジョルダンの曲線定理を鮮やかに示している.
磯崎・筧・木下・籠屋・砂川・竹山 共著『微積分学入門 例題を通して学ぶ解析学』(培風館) 数学の答案の書き方がよくわからない学生に推奨
野本 久夫・岸 正倫 共著『解析演習』(サイエンス社) 標準的な問題演習書
三宅 敏恒 著『微分積分の演習』(培風館) 指定教科書に準拠した演習書
M. Moskowitz & F. Paliogiannis, Functions of Several Real Variables, World Scientific, 2011.
Rami Shakarchi, Problems and Solutions for Undergraduate Analysis, Springer, 1998.
Terence Tao, Analysis I, II, 2nd ed., Texts & Readings in Math., Vol. 37, 38, Hindustan Book Agency, 2009.
Robert S. Strichartz, The Way of Analysis, Jones & Bartlett Math., 1995.
W. Walter, Analysis I, II, Springer, 1990.

(a) 授業内容

第1回:内容紹介, 多変数の関数
第2回:偏微分と全微分
第3回:合成関数の微分, ヤコビアン
第4回:高次の偏導関数, テーラーの定理
第5回:多変数関数の極値
第6回:陰関数の定理
第7回:偏微分のまとめ, 補足
第8回:中間試験とその解説
第9回:重積分の定義
第10回:重積分と累次積分
第11回:重積分の変数変換
第12回:線積分とグリーンの定理
第13回:体積・曲面積
第14回:*ガンマ関数とベータ関数, *広義の重積分
第15回:重積分のまとめ, 補足
定期試験

[注]講義の進度は多少前後することがある.
また, *印の項目は省略されることがある.

(b) 授業の進め方

授業は基本的に板書によって進められる.

授業時間外の学習なしに, 講義中に講義内容のすべてを理解することは不可能であることを認識してほしい. 授業時間外に, 講義の復習をすると同時に, 教科書の演習問題等を実際に解いてみる作業が求められる.

(a) 評価方法

定期試験を中心に, 必要に応じてレポート・小テストなどを課し, それらの出来を総合的に評価する.

(b) 評価基準

偏導関数, 連鎖律, 多変数関数の極値問題, 陰関数の微分法, 重積分, 累次積分, 積分の変数変換について, 基本的な概念および計算法則を理解し, 具体的な関数に対して適用できることを基準とする.

東1号館, 501号室, 水曜, 5時限を原則とします. 但し, この時間に都合がつかない場合には, 数日前に電子メールで来室予約をとった上で居室を訪問されたい. 電子メールでの質問は固くお断りします. 当該授業の内容以外の質問や相談には応じられません.

この講義では前学期の「微分積分学第一」で学習した, 1変数関数の微分・積分法の続きとして, 多変数関数の微分・積分法についての基礎的内容を解説します.
まず前半で多変数(特に2変数, 3変数)の関数の極限や微分(偏微分・全微分)を学びます. 多変数関数とは複数の独立変数をもっている関数ということで, 1つの独立変数についての微分が“偏微分"です. 1変数関数の微分に相当するのは多変数関数では“全微分"で, 1変数の場合と同様に関数のグラフを考えたときに, その曲面の接平面の傾きを与えるという幾何的な意味があります. 多変数の場合にも合成関数を導入することで様々な種類の多変数関数に微分法が適用できるようになります. その合成関数の微分法の計算規則が“連鎖律"というもので, この計算法をしっかり身につけることが応用上も大事です. 1点の近くでの関数値の変化の様子を調べるのに有用なテーラー展開を多変数関数でも考えます. 多変数関数のテーラー展開は一見, 複雑に思えるかも知れませんが, それは変数が多いせいで, “多重指数"なるもので書き表せば, 見かけ上は1変数関数と同じ形式になります. 高等学校で1変数関数の場合に学んだように, 多変数関数にも極値問題が考えられ, 最大・最小の問題へと応用されます.
後半では多変数関数の積分である“重積分"の計算法を説明します. 重積分は“累次積分"という1変数の積分に書き直して計算されます. このとき被積分関数の形が複雑だと、後の計算が上手く行きません. そこで1変数関数の場合と同様に多変数の適切な置換(変換)をして被積分関数の形を原始関数が求められる形にします. この種の積分計算は幾つかの典型的なパターンがありますので, 数十題以上の計算問題を反復して解く練習をして, すらすら解けるようにしておけば試験対策になると思います. 毎回, 必ず復習することが大切です.

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