線形代数学第二(クラス3)

なし

数学のみならず広く理工学・情報学において, 「線形性」あるいは「線形化」という考え方が重要である. 線形代数学, 特に本講義で述べる「ベクトル空間」と「線形写像」の概念は, 複雑で多様な対象や現象の中に現れる「線形性」という性質を抽象化し, 統一的に記述することを可能にする体系を提供し, これにより分野を問わず広く用いられ, 本学で学ぶ専門科目を受講するにあたり必須の内容である. 「ベクトル空間」の概念は、高校で学習する「ベクトル」の考え方とその性質を一般化したものであると同時に, 高校で触れる「集合」に新たな構造を導入したものである. さらに「関数」の考え方の一般化である「写像」という集合同士の対応付けの考え方を「線形性」と結びつけることにより「線形写像」の考え方に至る. これらの観点から高校までの学習との接続に十分配慮して講義を行う.

線形代数学第二では, 線形代数学における最も基本的な概念であるベクトル空間と線形写像の理解を目標とする. 具体的には, ベクトル空間のもっとも基本的なモデルであり, 高校までの平面・空間ベクトルの概念を高次元化した「数ベクトル空間」を中心に, ベクトルの一次独立性, 基底と次元の概念, 線形写像とその表現行列といった概念, 行列や線形変換の固有値や対角化とその具体的な計算法を扱う. 具体的な計算においては線形代数学第一における「行列」の計算技術が必須である.

線形代数学第一

数学演習第一, 微分積分学第一

教科書:木田 雅成 著 「線形代数学講義(増補版)」(培風館)
参考書(数学スタッフから推薦のあったテキスト):
村上正康・佐藤恒雄・野澤宗平・稲葉尚志 共著 「教養の線形代数学(六訂版)」(培風館)
中村 郁 著 「線形代数学」(数学書房)
斎藤 正彦 著 「線型代数入門」(東京大学出版会)
川久保 勝夫 著 「線形代数学(新装版)」(日本評論社)
佐武 一郎 著 「線型代数学(新装版)」(裳華房)

(a) 授業内容
第1回:内容紹介・集合と写像の考え方
第2回:ベクトル空間とその部分空間
第3回:ベクトルの一次独立・一次従属
第4回:ベクトル空間の基底と座標
第5回:ベクトル空間の次元
第6回:いろいろな部分空間の基底と次元
第7回:線形写像の導入と定義
第8回:線形写像の核と像
第9回:前半のまとめ
第10回:線形写像の表現行列
第11回:基底変換と表現行列
第12回:固有値・固有ベクトルとその性質
第13回:表現行列の対角化
第14回:線形代数学の展望
第15回:線形代数学第二のまとめ
定期試験
[注] 講義の進度は前後することがある. なお, 第14回および第15回では, 講義の進度や受講者の理解度に応じて, 例えば, 内積空間の正規直交基底や実対称行列の直交対角化, 漸化式・微分方程式・二次形式への応用などの進んだ話題からトピックを選んで講義する場合がある.

(b) 授業の進め方
授業は基本的に板書によって進められる.

授業時間外の学習なしに, 講義中に講義内容のすべてを理解することは不可能であることを認識してほしい. 授業時間外に, 講義の復習をすると同時に, 教科書の演習問題等を実際に解いてみる作業が求められる.

(a) 評価方法
平常点(講義時に出された課題など):期末試験 = 30% : 70%

(b) 評価基準
ベクトル空間の部分空間・基底・次元の概念を理解し, 同次連立一次方程式の解空間や行列から定まる線形写像の核や像空間などの基底や次元を求められること, 線形写像の表現行列の考え方を理解し, 具体的な例で実際に求められること, および, 線形変換や行列の固有値・固有ベクトルを計算し, 対角化を実行できることを合格の基準とする.

講義の前後に相談に応じます.

数学は理工系の全ての学問の基礎ですので, 講義時間以外にも自学自習して基礎力を身に付けられるように日々努力してください.

本科目の取りまとめ教員:山田 (yyyamadATuec.ac.jp)