解析学(クラス4)

http://www.uec-ogata-lab.jp/

[主題]常微分方程式の解法および級数(特に整級数)の基本的取り扱いについて学ぶ.
[到達目標][微分方程式]では, 1階常微分方程式, 定数係数線形微分方程式を中心に常微分方程式の解法を学び, 更にこれらの微分方程式を解く技術を磨く. [級数]では, 無限級数の基本的性質を学んだ後, 整級数(べき級数)の基本的性質, 計算法, 関数のテイラー級数展開などを学び, その取り扱いに関する理解を深める.
<<授業の概要>>
[微分方程式]では, 1階微分方程式(変数分離形, 同次形, 1階線形など)を不定積分の考え方で具体的に解く方法(求積法), および定数係数線形微分方程式の特性多項式を用いた一般的解法について学ぶ. 微分方程式は言うまでもなく, 自然科学, 工学の現象を説明する最も基本的な道具であり, ここで学習した解法に習熟することが望まれる.
[級数]では, まず高校の数学IIIで学習した無限等比級数の性質などを用いて, 一般の無限級数の収束発散の性質を調べる. それを基にして整級数(無限次の多項式)の基本的性質や収束半径という重要な概念について学習する. また与えられた関数の整級数展開についても学ぶ. 整級数は関数を項とする無限級数であり, 整級数の扱いは今後勉強する関数論, フーリエ級数論の基礎となる. なお、ここで現れる「Eulerの公式」は理工系の数学の最重要公式である。

微分積分学第一

数学演習第一, 線形代数学第一

適当な微分積分学の教科書を見てください。
授業期間中、適宜自習問題を与えますので、それを解いてください。

授業は対面形式で行う(対面形式を望まない学生にも配慮する)。
(Google Classroomも参照してください。)
古式ゆかしき板書形式で行いますが、私は板書がかなり速いので、講義ノートをGoogle Classroomに載せておきます。ただし、私の講義ノートを読んで納得するだけでなく、自分でノートをちゃんと書いて、つくってください。他人が書いたものを目で追ってわかったつもりになって終わらせるのは、数学の勉強の仕方として根本的に間違っています。
(a) 授業内容
[常微分方程式]
第1回:微分方程式とはなにか？微分方程式の例。
第2回:力学の運動方程式を解いてみる。
第3回:微分方程式をつくってみる。一階常微分方程式(変数分離型)。
第4回:定数係数線形微分方程式。オイラーの公式。
第5回:テイラー級数。オイラーの公式の導出。調和振動子の運動方程式。
第6回:演算子法。
第7回:連立微分方程式。2×2行列の固有値・固有ベクトル。行列の指数関数。
第8回:中間試験。問題・補足説明。
[無限級数]
第9回:実数列とその極限。実数の性質(有界単調な実数列は収束する、実数の完備性)。sup, infの定義。無限級数とその収束。
第10回:正項級数の収束判定(Cauchyの判定法、d'Alembertの判定法、Euler-Maclaurinの判定法)、Euler定数。ゼータ関数。
第11回:交代級数とその収束判定(Leibnizの定理)。絶対収束する級数とその性質。
第12回:テイラー級数。冪級数(定義、収束半径とその計算法)。関数列の一様収束。
第13回:関数項級数の一様収束に関するWeierstrassのM判定法。冪級数の一様収束。冪級数の項別微積分可能性。
第14回:Taylor級数展開。Eulerの公式。Abelの定理。
第15回:無限級数論続論。去年度はcot関数の部分分数展開からゼータ関数の値の計算まで、をやりました。

(b) 授業の進め方
授業は基本的に板書によって進められる.

授業時間外の学習なしに, 講義中に講義内容のすべてを理解することは不可能であることを認識してほしい. 授業時間外に, 講義の復習をすると同時に, 参考書の演習問題等を実際に解いてみる作業が求められる.

(a) 評価方法
中間・期末試験により評価する.

(b) 評価基準
無限級数の収束発散の判定, 整級数の収束半径の計算, 関数の整級数展開が, 比較的単純な例に対して実行できる. また, 変数分離形の微分方程式, 2階の定数係数線形微分方程式の一般解の計算法が理解されていることを合格の基準とする.

授業時間以外の質問等はメールで受け付ける。

微分積分を自然現象や工学的現象に対して適用するためには, この解析学で学ぶ内容が非常に役に立ちます. 微分方程式はあらゆる現象の記述に使われ, その解を求めることは, あらゆる応用において絶対に必要な事柄です. 級数は信号処理や画像処理の基礎になるフーリエ級数を学ぶために必要ですし, ここで学ぶテイラー級数・オイラーの公式は理工系数学で大変重要です.

板書の文字が小さい、声が小さいといったことは、「授業中にその場で」言ってください。こういうことを学期末の授業評価アンケートに書く人がいますが、そういうことが全く無駄、無意味であることをなぜわからないのでしょう？その場で言えば解決することです。
あと、私は「空気が読めません」。板書内容が間違っていて教室がなんとなく騒がしくなることがありましたが、そういう「空気」を押し付けずに、「間違いじゃないですか」とちゃんと口で言ってください。