解析学(クラス10)

なし

[主題]級数(特に整級数)の基本的取り扱いと微分方程式の解法について学ぶ.
[到達目標][級数]では, 無限級数の基本的性質を学んだ後, 整級数(べき級数)の基本的性質, 計算法を学び, その取り扱いに関する理解を深める. [微分方程式]では, 1階常微分方程式, 定数係数線形微分方程式を中心に常微分方程式の解法を学び, 更にこれらの微分方程式を解く技術を磨く.
<<授業の概要>>
[級数]では, まず高校の数学IIIで学習した無限等比級数の性質などを用いて, 一般の無限級数の収束発散の性質を調べる. それを基にして整級数(無限次の多項式)の基本的性質や収束半径という重要な概念について学習する. また与えられた関数の整級数展開についても学ぶ. 整級数は関数を項とする無限級数であり, 整級数の扱いは今後勉強する関数論, フーリエ級数論の基礎となる. [微分方程式]では, 1階微分方程式(変数分離形, 同次形, 1階線形など)を不定積分の考え方で具体的に解く方法(求積法), および定数係数線形微分方程式の特性多項式を用いた一般的解法について学ぶ. 微分方程式は言うまでもなく, 自然科学, 工学の現象を説明する最も基本的な道具であり, ここで学習した解法に習熟することが望まれる.

微分積分学第一

数学演習第一, 線形代数学第一

共通教科書:三宅 敏恒 著『入門 微分積分』(培風館)[微分積分学の教科書]
参考図書:石田・申 共著『級数と微分方程式』(牧野書店)
講義用のプリントを用意する予定です.

(a) 授業内容
第1回:内容紹介, 数列の復習, 級数の定義
第2回:正項級数の収束判定
第3回:絶対収束と条件収束, 交項級数
第4回:整級数の収束, 収束半径
第5回:整級数の性質(*関数列・関数項級数の一様収束)
第6回:関数の整級数展開
第7回:級数のまとめ, 補足
第8回:中間試験とその解説
第9回:微分方程式の例, *正規形微分方程式の解の存在
第10回:1階の微分方程式の求積法I (変数分離形, 同次形, 1階線形微分方程式)
第11回:1階の微分方程式の求積法II(完全微分形など)
第12回:*線形微分方程式の基本性質(解空間, 基本解など)
第13回:定数係数線形微分方程式の解法I (斉次方程式の基本解)
第14回:定数係数線形微分方程式の解法II(非斉次方程式の特殊解, 一般解)
第15回:微分方程式のまとめ, 補足
定期試験
[注1]講義の進度は多少前後することがある. また, *印の項目は省略されることがある.
[注2]クラスによっては第1回～第7回(級数)と第9回～第15回(微分方程式)の
順序を入れ換えることがある.

(b) 授業の進め方
スライドおよび板書による.

授業時間外の学習なしに, 講義中に講義内容のすべてを理解することは不可能であることを認識してほしい. 授業時間外に, 講義の復習をすると同時に, 教科書の演習問題等を実際に解いてみる作業が求められる.

(a) 評価方法
課題1割、中間+期末試験9割で評価する.

(b) 評価基準
無限級数の収束発散の判定, 整級数の収束半径の計算, 関数の整級数展開が, 比較的単純な例に対して実行できる. また, 変数分離形の微分方程式, 2階の定数係数線形微分方程式の一般解の計算法が理解されていることを合格の基準とする.

WebClass上に質問フォーラムを開設します.
対面での授業相談を希望する場合はメール等で予約して下さい.

講義を聴くだけで数学を理解できる人は天才です. 常人は, 講義を聴く以外に, 自分で教科書やノートを読み返し, いろいろな問題を解く経験を積まないことには理解はおぼつきません.

本科目の取り纏め教員: 齋藤平和 (hsaito@uec.ac.jp)