幾何学概論(II類)

http://www.yyyamada.e-one.uec.ac.jp/Lecture/geomPW.html

[主題]電磁気学などの数理物理で発展した「ベクトル解析」を, 純粋数学から整理した理論「微分形式」を用いて復習する. 曲線や曲面に沿う関数やベクトル場の微積分, ベクトル量の積分法, それらの多様な公式を紹介する. 物理法則などを深く理解するための強力な一助となるに違いない.

[達成目標]ベクトル解析の多様な概念の定義を理解し計算法を確認する. 純粋数学として「微分形式」の理論まで進むことで, それまでの発展を振り返ってみてほしい.

線形代数学第一・第二, 微分積分学第一・第二, 解析学,

現代数学入門A, 現代数学入門B(特に 代数の基礎概念).
「ベクトル解析」を扱う科目(学科によって科目名が異なる).

教科書:小林真平 著「曲面とベクトル解析」日本評論社
参考書(特に「微分形式」を系統的に修得するために薦める)
・清水勇二 著 「基礎と応用 ベクトル解析」サイエンス社、
・坪井俊 著 「幾何学III 微分形式 (大学数学の入門)」東大出版会、
など.

ベクトル解析だけなら
・山本有作・石原卓 共著「ベクトル解析」裳華房.
・矢野健太郎・石原繁 共著「ベクトル解析」裳華房.

[授業内容]基礎数学から始めて, ベクトル場の微分, ベクトル場の線積分・面積分, それらの多様な公式を復習する. 幾何学の立場からそれらを整理した理論「微分形式」を紹介する. 微積分で使う dx という記号に込められた深い意味を知ることになるだろう.

第01回:内容紹介、教科書に関する注意
第02回:基礎数学の復習(空間図形, グリーンの定理)☆第1回レポート課題
第03回:ベクトル場
第04回:双対空間 と 1次微分形式
第05回:勾配(gradient)、発散(divergence)、回転(rotation)
第06回:外積代数と高次の微分形式
第07回:*作用素
第08回:各種の微分公式
第09回:前半のまとめ、補足 中間試験
第10回:空間曲線 と 線積分
第11回:曲面の座標 と面積分
第12回:積分公式1(発散定理)
第13回:積分公式2(ストークスの定理)
第14回:積分定理の応用
第15回:後半のまとめ、補足
[注]講義の進度は多少前後することがある.

例年、第2回講義で レポート課題 を出します.

[授業の進め方]授業は 対面式 を希望しています. 板書が多いですがスライドも利用します. レポートの提出に ClassRoom (UEC G WorkSpace) を利用します.

この講義の内容は, 数学(理論)として 法則・原理 こそが興味深い内容であるが, その一方で "計算法" でもある. 講義で他人の計算例を眺めても効果は少ない. 自分で訓練して始めて力(速く正確に)になり, 公式の実感にもつながる. 自分にあった演習書を入手して, 各自で努力してほしい.

[成績評価方法]期末試験およびレポート. 試験の結果を主(60%〜70%)として, レポートと講義進行に対応した課題を(40%〜30%)評価する. 教育実習に行く学生は正式に申請すること.

試験は対面式で実施します. 例年、ノートなど 紙 資料の持込可 (ただし図書は1冊のみ)です.
PCやスマホは通信可能な場合があるため 持込不可 とします.

[最低達成基準]ベクトル解析の概念:勾配(gradient), 発散(divergence), 回転(rotation) などを微分形式との関連で理解し, 各種の公式を使いこなす. 特に 積分定理 を重要視する.

月曜の5限とします. 居室にいるときは 時間さえあればいつでも質問には答えますが, 予め 講義終了時 や mail で時間を打合せてくれると確実です.

教職免許(数学)希望者のための科目である.
内容的に, 最初の数回 と 最後の数回(積分定理)が 特に重要.
ベクトル解析は基礎数学の2つの柱「微分積分学」と「線形代数学」が融合した数学である. 先へ進むことによって, 過去に学んだことの理解を深めることができるだろう. 準備として, 特に積分(累次積分, 置換積分)をよく復習して講義に臨んでほしい.

[履修の注意]
・他学科履修、大学院生の履修は、早めに申請を済ませること.
・K課程(夜間主コース)の学生はこのクラスでは履修できない(K課程対象の同名科目を履修すること).