現代代数学(大学院連携科目)

なし

環上の加群の基礎について講義する. 特に, 単項イデアル整域(実際にはより強くユークリッド整域)上の単因子論について講義する.

This lecture provides basics of modules over a ring.

線形代数学第一, 同第二

Linear algebra I and II

大学での代数学系の科目

Some very elementary level lectures of algebras.

教科書:堀田良之著「代数入門」裳華房 第1章6節以降と第2章

The textbook is the book above written in Japanese.

第1回:環と環の間の準同型写像と関連概念(Rings and Homomorphisms of rings, and related concepts)
(可換)環, 有理整数環, 多項式環, 環の間の準同型写像とその核と像, イデアル, 部分環
第2回:単項イデアル整域と関連概念(Principal ideal domains, and related concepts)
整域, イデアルの生成系, 単項イデアル整域, ユークリッド整域, ユークリッドの互除法
第3回:剰余環と関連概念(Quotient rings, and related concepts)
剰余環と環の準同型定理
第4回:素イデアルと関連概念(Prime ideals, and related concepts)
素イデアル, 極大イデアル
第5回:中国式剰余定理と関連概念(Chinese Remainder Theorem, and related concepts)
環の直積, 最大公約元, 2つのイデアルが互いに素, 中国式剰余定理
第6回:環上の加群と関連概念(Modules over a ring, and related concepts)
可換環上の加群, 加群の直積と直和, 自由加群
第7回:環上の加群の間の準同型写像と関連概念(Homomorphisms of modules over a ring, and related concepts)
環上の加群の間の準同型写像とその核と像, 部分加群
第8回:剰余加群と関連概念(Quotient modules, and related concepts)
剰余加群と加群の準同型定理
第9回:生成系と関連概念(Generators and related concepts)
生成系, 可換環上の自由加群の基底
第10回:ネーター環上の有限生成加群と関連概念(Finitely generated modules over a noetherian ring, and related concepts)
ネーター環, 有限生成加群, ネーター加群
第11回:ユークリッド整域上の行および列基本変形と関連概念(Elementary row or column operations over a euclidean domain, and related concepts)
ユークリッド整域上の行および列基本変形, 基本行列, 行列の単因子
第12回:ねじれ部分加群と関連概念(Torsion submodules, and related concepts)
ねじれ部分加群, ユークリッド整域(単項イデアル整域)上の有限生成加群の構造定理
第13回:ジョルダンの標準形と関連概念(Jordan canonical forms, and related concepts)
ジョルダンの標準形とその計算例
第14回:可換環のスペクトラム(The spectrum of a commutative ring, and related concepts)
可換環のスペクトラム, 有限生成加群の台
第15回:まとめと復習(Summary)

授業時間外での学習は必須です.

環および環上の加群の話の基礎によくある(形式的な)証明を身につけているか, 簡単な証明が書けるか等を基準に, 授業中に課したレポートの出来, および, 授業中の取り組み具合等で総合評価する.

随時受け付ける.

整数を係数とする一次方程式の整数解などは, ユークリッドの互除法などとともに, どこかの段階で学ばれた方も多いだろう. 一方, 実数を係数とする一次方程式の実数解などは, 線形代数学で学んだ. ユークリッド整域上の単因子論は, この2つの一般化にあたり, 高校で教える際にも, この講義の内容をきちんと身につけていれば, より良く問題を見通すことができるようになる. また, この講義の内容を身につければ, ジョルダンの標準形についても(実質的に)理解したことになる. 基本的に受講生の方の基礎知識等にあわせて講義するので, わからないことなどがあれば, 積極的に質問してください.

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