応用数学第一

Google Classroom. クラスコードは内部シラバスの「遠隔授業に関する情報」に記載しています.

主題: フーリエ解析は一言で言えば振動・波動現象の数学であり, 理工学の幅広い分野で重要である.
最初にフーリエ解析の実世界への応用例を取り上げ, いかにフーリエ解析が工学において重要な役割を果たしているかを理解する. 本科目では数学による論理展開を大切にしつつ多数の例題を解きながらフーリエ級数とフーリエ変換の基礎を学ぶ.
達成目標: フーリエ解析に関わる多くの数学的概念とそれらの間の数学的関係性(包含関係の有無等)を理解しながら, 自ら数式を導出して計算できる数学的能力を身につける.

微分積分学第一, 微分積分学第二, 解析学, 線形代数学第一, 線形代数学第二, 数学演習第一, 数学演習第二, 複素関数論

確率論, 物理学概論第一, 物理学概論第二, 物理学演習第一, 物理学演習第二, 電気・電子回路

教科書:松下泰雄著『フーリエ解析 基礎と応用』(培風館)
・教科書の内容に関連する講義スライド (PDF) をGoogle Classroomに配布します. 授業では講義スライドを使って解説します.
・オンデマンド学習 or zoomによるリアルタイム遠隔授業を予定します. 中間試験 (12月初中旬)と期末試験 (2月初中旬) は対面で行います.

[授業計画]
第1回 ガイダンス, Introduction.
-- フーリエ級数--
第2回 周期関数, 相互相関関数, 自己相関関数.
第3回 三角関数と複素指数関数のn倍振動の性質, 周期関数の畳み込み.
第4回 周期関数が三角関数の有限和で表されるときのフーリエ係数の導出, ディリクレ核.
第5回 フーリエ係数とフーリエ級数の定義, 関数の区分的連続性と区分的なめらか性.
第6回 つづき
第7回 ディリクレの収束定理, フーリエ級数の具体例.
第8回 ギブス現象, 畳み込み定理, 相互相関定理, 自己相関定理, パーセヴァルの等式.
第1-8回の内容で中間試験 (12月初中旬)
-- フーリエ変換--
第9回 絶対可積分関数と2乗可積分関数.
第10回 周期関数から非周期関数へ. フーリエ変換と逆フーリエ変換の定義と性質.
第11回 フーリエ変換と逆フーリエ変換の計算例.
第12回 フーリエ変換の畳み込み定理, 相互相関定理, 自己相関定理, パーセヴァルの等式.
第13回 テスト関数, 汎関数, シュワルツ超関数, デルタ関数.
第14回 デルタ関数, 周期的デルタ関数, 弱微分, 超関数微分とフーリエ解析.
第15回 フーリエ級数とフーリエ変換による線形常微分方程式の解法.
第9-15回の内容で期末試験 (2月初中旬)

事前に15回分の講義スライド (PDF) と15回分の講義動画 (mp4) をGoogle Classroomに配布する予定です. 先取り学習など自分のペースで講義を視聴してください. 視聴の進め方として, 最初に講義スライドに書かれた問題を自分の力で解いてみて自分の解答を用意しておき, その後問題の解答を見て答え合わせするとより効果的です. 講義動画・講義スライド・教科書・教員への質問の4つを活用してフーリエ解析の基礎を身につけてください. 数学の条件や論理の流れを細部にわたるまで把握するために, 講義動画を何回も繰り返し視聴することを推奨します.

評価方法:
中間試験・期末試験の結果を, 基本的に次のように総合評価する.
成績評価= average {中間試験の評価, 期末試験の評価} (+レポート点)
両方の試験を受けなければならない.
レポートの提出は自由. レポートの出来が良い場合に限り, レポート点を加点する場合がある.

評価基準:
以下の到達レベルをもって合格の最低基準とする.
--フーリエ級数--
(1) 周期関数の定義や性質を説明でき, 関数が周期関数か否かを判定できる.
(2) 周期関数の例をいくつか挙げることができる.
(3) 周期関数に対して, 相互相関関数, 自己相関関数, 周期的畳み込みを計算できる.
(4) 周期関数に対して, フーリエ係数, フーリエ級数, 複素フーリエ係数, 複素フーリエ級数を計算できる.
(5) 関数が区分的連続か否かを判定できる. 関数が区分的なめらかか否かを判定できる.
(6) 関数の区分的連続性と区分的なめらか性の違いを説明できる.
(7) ディリクレの収束定理を説明でき, 定理の結果を利用することができる.
(8) ギブス現象を説明でき, どのような周期関数のときに起こるかを判定できる.
(9) 周期関数に対する畳み込み定理, 相互相関定理, 自己相関定理, パーセヴァルの等式を説明でき, 定理の結果を利用することができる.

--フーリエ変換--
(1) 絶対可積分関数と2乗可積分関数の関数の例を挙げることができ, 違いを説明できる.
(2) 非周期関数に対して, 相互相関関数, 自己相関関数, 畳み込みを計算できる.
(3) フーリエ変換と逆フーリエ変換の定義といくつかの性質を説明できる.
(4) フーリエ積分定理を説明することができ, 定理の結果を利用できる.
(5) フーリエ級数とフーリエ変換の類似点と違いを説明できる.
(6) 様々な非周期関数のフーリエ変換と逆フーリエ変換を計算できる.
(7) 非周期関数に対して成立する畳み込み定理, 相互相関定理, 自己相関定理, パーセヴァルの等式を説明でき, 定理の結果を利用できる.
(8) デルタ関数が持つ様々な数学的性質を説明でき, デルタ関数が入った積分を計算できる.
(9) フーリエ級数やフーリエ変換を手段として線形常微分方程式を解くことができる.

yu.nishiyama@ai.lab.uec.ac.jpまでメールして相談のこと. 講義時間にもZoom内で質問を受けつけます.

フーリエ解析は数学と工学を結びつける重要な講義の1つで, 数学が実世界で役立つわかりやすい学問の例です. 情報通信技術では, 信号や関数を時間領域と周波数領域の2つの側面から眺め, それぞれの領域特性を活かした情報加工・信号処理が行われます. フーリエ解析はこれまで授業で習ってきた様々な数学が顔を合わせる面白い学問です. フーリエ級数とフーリエ変換の間の数学的類似点や違いに着目すると理解が相補的に進むでしょう.

上記の記載事項には予定を含みます. 変更の際はGoogle Classroomで都度アナウンスします.