応用数学第二

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本講義では, ベクトル解析と偏微分方程式について扱う。ベクトル解析とは, 3次元空間で定義されたベクトル場に関する微積分学であり, 電磁気学や流体力学など, 様々な分野で重要な役割を果たす。本講義では, ベクトルの復習から始めて, 前半でベクトル場の微分, 積分, 各種の積分定理など, ベクトル解析の基礎を学ぶ。後半では, ベクトル解析を利用してラプラス方程式, 熱伝導方程式など, 応用上重要な偏微分方程式を導出し, その性質や解き方を学ぶ。これは, 様々な分野における数値シミュレーションの理論的基礎ともなる。

In this lecture, we focus on two topics: vector calculus and partial differential equations. Vector calculus is calculus of vector fields defined in a three-dimensional space. It plays an important role in various fields of physics such as electromagnetics and fluid dynamics. In the former half of this lecture, we study basics of vector calculus such as differentiation and integration of vector fields and integral theorems. In the latter half, we derive important partial differential equations such as the Laplace equation and the heat equation using vector calculus and study their properties, as well as techniques to solve them. This will be a theoretical foundation for numerical simulations in various fields.

線形代数学第一, 微分積分学第一, 微分積分学第二, 応用数学第一

Linear algebra I, Calculus I, Calculus II, Applied mathematics I

特になし

None.

教科書として, 次の2冊を推薦する。
山本有作, 石原卓:「ベクトル解析」, 裳華房, 2020.
渋谷仙吉, 内田伏一:「偏微分方程式」, 裳華房, 2000.
必要に応じて資料を配布する。

We recommend the following books as a textbook on vector calculus and partial differential equations, respectively:
Yusaku Yamamoto and Shigeru Ishihara: "Vector Calculus" (in Japanese), Shokabo, 2020.
Senkichi Shibuya and Fuichi Uchida: "Partial Differential Equations" (in Japanese), Shokabo, 2000.
Supplementary materials will be distributed in the class as necessary.

以下の内容で全15回の講義を実施する。講義のうち何回かは、オンデマンド形式のビデオ講義として行う。

第1回: ベクトルの代数
第2回: ベクトルの微分I(ベクトル関数の微分, ベクトル場の勾配)
第3回: ベクトルの微分II(ベクトル場の回転と発散)
第4回: ベクトル場の積分I(ベクトル関数の積分, ベクトル場の線積分)
第5回: ベクトル場の積分II(ベクトル場の面積分)
第6回: ストークスの定理
第7回: ガウスの定理
第8回: ポテンシャル
第9回: 直交曲線座標
第10回: 2階線形偏微分方程式
第11回: 熱伝導方程式とポアソン方程式の導出
第12回: ポアソン方程式の性質と解法
第13回: 熱伝導方程式の性質と解法
第14回: 波動方程式の導出
第15回: 波動方程式の性質と解法

途中, 必要に応じて演習を取り入れる。

講義中に出した問題を自分で解き, レポートを提出すること。

Students are expected to solve problems posed in the lecture and submit reports.

最低到達目標は以下の通りである。
1) ベクトル場の微分, 積分ができること。
2) ガウスの定理, ストークスの定理を理解し, 応用できること。
3) ラプラス方程式, 熱伝導方程式の基本的性質を理解し, 簡単な場合に解析解を求められること。
成績は、講義時間中の演習、レポート課題、および期末試験により、上記目標が達成されているかどうかを判定して評価する。

毎回の授業後に質問・相談の時間を設ける。また、Emailでの予約による質問・相談にも応じる予定である。

ベクトル解析と偏微分方程式は, フーリエ解析と並んで, 物理や工学の様々な分野で利用される応用数学の柱です。近年では, 物理現象を計算機でモデル化して解く数値シミュレーションが多くの分野で活用されていますが, ベクトル解析と偏微分方程式は, その理論的基盤ともなっています。ぜひこれらの理論をマスターして研究に活かしてください。

授業の進め方の詳細は, 上記の「授業関連Webページ」の「応用数学第二」の項を参照のこと。

また, 履修希望の学生は, 上記の「公開E-mail」にメールを送ること。

This course will be held as a distance lecture. The details will be given on the course website shown above.

Also, the students interested in taking this course should send an email to the email address shown above.