離散数学応用

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または 遠隔授業に関する情報の欄を参照

離散数学(2年前期)で習得したものは離散数学というより素朴集合論とでも呼ぶものです。本来の意味での離散数学は、この講義から学びます。
関係・同値関係などを学んだあと、離散構造、代数構造、整数論について概説する。そして公開鍵暗号などセキュリティの問題への応用を解説する。これらのアルゴリズムの基礎となっている数学について深く理解するとともに, アルゴリズムを実装する上で必要なの技術を身につけることを目標とする。

離散数学(2年前期)
(必修ではないが事実上ほとんど全員が単位取得している。言語として記法などを使用する。例えば、講義で、定義なしに単射、全射などと言ったとき、すぐに定義を思い出すか、教科書で該当ページを調べられるようにしておくこと。もっとも、高校を超える必要予備知識は1-2ページ程度のプリントにして初回講義で配布する予定なので心配は無いと思う。)

・本講義で論理的に必要な科目は、上の離散数学だけです。

・●線形代数学第一・第二(1年前期・後期)
(必要な個所を基礎から復習しながら話すので、詳細を覚えている必要はない。)

・前もってというわけではないが、
●アルゴリズム論(3年前期)
もあわせて受講すると、更に効果的です。(アルゴリズム論も広い意味で離散数学の応用と考えられ、離散数学応用でもアルゴリズムを扱う。)

●現代数学入門B(3年前期):ここで習った代数用語と重複があるので、心理的抵抗は少ないであろう。しかし担当教員としては多くの出席学生が履修していない前提で講義を進める。

参考図書: 尾関和彦著「情報技術のための離散系数学入門」共立出版(離散数学(2年前期)の教科書)
参考図書:萩田著 暗号のための代数入門 サイエンス社
参考図書: コルメン他著 浅野他訳 アルゴリズムイントロダクション第3巻 近代科学社
(講義で扱う内容の箇所で、小さくない間違いもあります。講義中に指摘します。質問も歓迎します。)

★遠隔授業についての詳細は、上記、授業関連WebページのURL参照。
●先ず, 同値関係, 商集合の概念を理解する。
次に、離散構造・代数構造・整数論について学び、情報セキュリティでの応用例を学習する。

第1回:ガイダンス, 数学の概観。非可算(計算機で不可能なことが存在する)。
第2回:関係
第3回:グラフ理論(1)定義
第4回:グラフ理論(2)隣接行列
第5回:グラフ理論(3)基本的な用語
第6回:グラフ理論(4)基本的な性質
第7回:整数論と代数 (1)基本的代数構造の定義
第8回:整数論と代数(2)基本的代数構造の性質
第9回:整数論と代数 (3) 整数、法計算、有限体
第10回:整数論と代数 (4) 素数
第11回:セキュリティ(1)公開鍵暗号
第12回:セキュリティ(2)素因数分解問題、RSA暗号
第13回:セキュリティ(3)離散対数問題 (DH鍵配送, ElGamal暗号)
第14回:セキュリティ(4)確率的素数判定アルゴリズム
第15回:達成度確認試験とその解説

離散数学(2年前期)で履修した基礎的内容は初回講義で配布するプリントにまとめます。全ての用語・記号を定義から立ち戻って理解してください。理解には二つあります。論理的理解(機械でも可能)と心理的理解です。まずは論理的理解を目指してください。
上にあげた参考書にあたると助けになるかもしれません。参考書によって記号が定義が違う所、同じ所を確認することにより、本質的なところがわかります。

試験の結果をもって評価する。
情報セキュリティに必要な基礎的数学対象としてのグラフ・群・有限体などを表現し扱える.
それら数学の応用として基本的な暗号アルゴリズムを表現し扱うことが出来る.

水曜5限。

●現在の情報化社会の基盤技術の一つである公開鍵暗号を知るためには, 基礎となっている数学
●最先端技術はすぐに古くなります。必要なときに必要な文献を読むことが重要です。非体系化されていない各論的な分野ならすぐに読めますが、数学のような体系化された知識で書かれた文献は、書かれている未知の用語・知識がどの程度初歩的か高度か検討がつかず、心理的な圧力を感じて読みにくいものです。体系化された膨大な数学の知識を所有している必要はありません。どんな知識がどこにどの程度の深さ・浅さであるのかを広く知っておいてください。用語に慣れておくと、忘れてしまっても、心理的障壁が取り除かれ、調べるのが楽になります。

★授業形態:対面形式(状況に応じてZoom講義に変更可能性あり)