応用幾何学

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(a)主題

本講義では, 平面曲線の微分幾何学的理論の初歩を学ぶ. 特に, 曲率や回転数といった曲線に付随する不変量の幾何的・物理的意味, およびこれらの計算法について説明する.

(b)達成目標

曲率・回転数の幾何的・物理的意味を説明でき, 公式を適切に利用することでこれらの不変量を具体的な曲線に対して計算できるようになることを目標とする.

ベクトルと行列第一・第二, 基礎微分積分学第一・第二

ベクトルと行列第一・第二, 基礎微分積分学第一・第二

教科書は特に指定しない. 参考書として次の本をすすめる.
梅原雅顕・山田光太郎 著 「曲線と曲面(改訂版)」(裳華房)
小林昭七 著 「曲線と曲面の微分幾何(改訂版)」(裳華房)

(a)授業内容

第1回: 内容紹介, 微積分の復習
第2回: 平面ベクトルの回転, 平面の合同変換
第3回: 正則な平面曲線と弧長パラメータ
第4回: 平面曲線の曲率, その幾何的・物理的意味
第5回: 曲率の公式と計算例(1): 弧長パラメータの場合
第6回: 曲率の公式と計算例(2): 一般のパラメータの場合
第7回: 曲率半径と曲率円
第8回: 平面曲線の基本定理
第9回: 正則ホモトピー, 閉曲線の回転数
第10回: 閉曲線に対するホイットニーの定理
第11回: 回転数に対するホイットニーの公式(1): 公式の使い方
第12回: 回転数に対するホイットニーの公式(2): 公式の証明
第13回: 卵形線と4頂点定理
第14回: 平面曲線のまとめと補足
第15回: 期末試験とその解説

(b)授業の進め方

初めに平面の合同変換について説明した後, 平面曲線に対して曲率や回転数を定義し, これらの不変量が持つ意味や計算法を解説していく. 授業は板書により進められる.

毎回の授業内容をよく復習し, 参考書にある例や演習問題を利用して計算練習を行ってください.

(a)成績評価方法

レポートと期末試験を5対5の比率で総合して評価する.

(b)評価基準

与えられた曲線の弧長・曲率・回転数等を計算できるようになることを達成基準とする.

毎回の授業の後, またはメールでアポイントメントをとって質問してください.

曲線の微分幾何はあまり予備知識の必要ないトピックなので, 幾何に興味があれば楽しめると思います.

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